1. 積分公式（定積分の結果および不定積分の予測）：神経衰弱で慣れてしまおう-eTOM -everything on Mac -

はじめに

本サイトの目玉は、下のカードめくりなので、適当に楽しんでいってください。

複雑な関数の不定積分を処理する問題では、地道に置換積分や部分積分を試行錯誤して計算を進めるのが王道です。しかし、事前に「逆三角関数」や「対数関数」などの特殊な積分結果の形を知っていると、計算の道筋は単なる「微分の逆演算」に変わり、 一瞬で適切な解法ルートを見抜くことができます。積分を瞬殺するための工夫や「なぜその置換をするのか」の仕組みについては、神経衰弱の下に解説をまとめました。

全17題中、とくに計算スピードで差がつく「逆三角関数関連の置換」や「無理関数」の形を見抜く問題が6題入っています。

高校数学の指導要領では、「$\arcsin$」や「$\arctan$」といった逆三角関数の記号そのものが、断り書きや誘導なしに入試で出題されることは稀です。
しかし、理系志望者であれば、これらは絶対に知っておくべき「必須の教養」と言えます。その理由は以下の2点です。

数学の定積分として超頻出： 例えば $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \,dx$ のような定積分は、$x = \tan\theta$ と置換する標準問題としてあらゆる大学で出題されます。不定積分の背景に $\arctan x$ があると知っていれば、なぜその置換をするのかが瞬時に見抜けます。
物理（電磁気学）での活躍： 「ビオ・サバールの法則」を用いて無限長導線の周囲の磁場を計算する際など、まさにこの $x = a \tan\theta$ の置換積分が登場します。数学の知識が物理の現象理解に直結する美しい瞬間です。

さらに、医学部や難関理系を目指すのであれば、写像の問題として出題される可能性があります。以下の3点は「常識」として頭に入れておくことを強くおすすめします。

$\sin$ は閉区間 $[-\pi/2,\pi/2]$ で、$\tan$ は開区間 $(-\pi/2,\pi/2)$ で単調増加するという性質
「周期関数であっても、単調増加（減少）する区間に制限すれば一対一対応になり、逆関数が考えられる」という発想
必要なら $\arcsin$、$\arctan$ 程度の基本的なグラフ（直線 $y=x$ に関して対称）と微分の性質

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間違えるても、計算の仕方と答えの説明がでるので、そのうち慣れます。

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積分公式一覧

全17題の内訳は以下の通りです。
【三角積分】4題 / 【逆三角関連】4題 / 【指数・対数】3題 / 【部分積分】3題 / 【無理関数】2題 / 【高度な置換】1題

$ \displaystyle \int \sin^2 x \,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $ （三角積分）
$ \displaystyle \int \cos^2 x \,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $ （三角積分）
$ \displaystyle \int \sin x \cos x \,dx = \frac{\sin^2 x}{2} + C $ （三角積分）
$ \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \arctan x + C $ （逆三角関連）
$ \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C $ （逆三角関連）
$ \displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2} \,dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ （逆三角関連）
$ \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \,dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ （逆三角関連）
$ \displaystyle \int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ （指数・対数）
$ \displaystyle \int e^{ax} \,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C $ （指数・対数）
$ \displaystyle \int \ln x \,dx = x \ln x - x + C $ （指数・対数）
$ \displaystyle \int x e^x \,dx = (x-1)e^x + C $ （部分積分）
$ \displaystyle \int x \ln x \,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C $ （部分積分）
$ \displaystyle \int \frac{1}{\cos x} \,dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) + C $ （高度な置換）
$ \displaystyle \int \sqrt{x^2 - a^2} \,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log\vert x+\sqrt{x^2-a^2}\vert + C $ （無理関数）
$ \displaystyle \int \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ （無理関数）
$ \displaystyle \int e^x \{f(x) + f'(x)\} \,dx = e^x f(x) + C $ （部分積分）
$ \displaystyle \int \tan x \,dx = -\log|\cos x| + C $ （三角積分）

特論の下に全席分の解説があります。右辺を微分したら確かにそうなるのですが、積分をするとなると工夫が必要ですね。

解説

【特論】難関大で差がつく2つの積分

1. $\frac{1}{\cos x}$ の積分テクニック（部分分数分解への誘導）
一見シンプルに見える $\int \frac{1}{\cos x} \,dx$ ですが、そのままでは積分できません。分母分子に $\cos x$ を掛けて $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \,dx$ とし、分母を $1-\sin^2 x$ に書き換えます。ここで $\sin x = t$ と置換すると、$dt = \cos x \,dx$ より、分子の $\cos x$ が綺麗に消えて $\int \frac{1}{1-t^2} \,dt$ となります。あとは $\frac{1}{2}(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t})$ と部分分数分解するだけで対数の積分に持ち込めます。

2. 同形出現の無理関数積分
$\int \sqrt{x^2 - a^2} \,dx$ は、$1 \cdot \sqrt{x^2-a^2}$ と見なして部分積分を行うのが定石です。計算を進めると、右辺に再び元の積分 $\int \sqrt{x^2 - a^2} \,dx$ が出現します（同形出現）。これを方程式の $I$ と見立てて移項し、$2I = \dots$ の形から解き明かすという、極めて高度な処理が要求される重要な公式です。

1. $\int \sin^2 x \,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ （三角積分）

ポイント：半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ を用いて次数を2次から1次に下げます。三角関数の積分において「次数を下げる」ことは最も基本かつ強力なアプローチです。

計算：
$ \int \sin^2 x \,dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} \,dx $
$ = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin 2x \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $

2. $\int \cos^2 x \,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$ （三角積分）

ポイント：こちらも半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ を用いて次数を下げます。$\sin$ の場合と異なり、符号がプラスになることに注意してください。

計算：
$ \int \cos^2 x \,dx = \int \frac{1+\cos 2x}{2} \,dx $
$ = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $

3. $\int \sin x \cos x \,dx = \frac{\sin^2 x}{2} + C$ （三角積分）

ポイント：2倍角の公式を用いて $\int \frac{\sin 2x}{2} \,dx$ と直すか、$u = \sin x$ と置換積分します。どちらの手法でもすぐに解くことができます。

計算：
$ \int \sin x \cos x \,dx = \int \sin x (\sin x)' \,dx $
$ = \frac{1}{2}\sin^2 x + C $

4. $\int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \arctan x + C$ （逆三角関連）

ポイント：$x = \tan\theta$ と置く代表的な置換積分です。$dx = \frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$ となり、分母と見事に打ち消し合って定数の積分になります。

計算：
$ x = \tan\theta $ とおくと、$ dx = \frac{1}{\cos^2\theta}d\theta $
$ \int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \int \frac{1}{1+\tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} \,d\theta $
$ = \int \cos^2\theta \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} \,d\theta = \int 1 \,d\theta = \theta + C = \arctan x + C $

5. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C$ （逆三角関連）

ポイント：$x = \sin\theta$ と置換する標準形です。置換によって分母のルートが外れ、$\cos\theta$ が約分される快感を味わえるはずです。

計算：
$ x = \sin\theta $ とおくと、$ dx = \cos\theta d\theta $
$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta \,d\theta $
$ = \int \frac{\cos\theta}{\cos\theta} \,d\theta = \int 1 \,d\theta = \theta + C = \arcsin x + C $

6. $\int \frac{1}{a^2+x^2} \,dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ （逆三角関連）

ポイント：$x = a\tan\theta$ と置換します。分母からくくり出される $a^2$ と、$dx$ から出る $a$ が約分され、結果として全体の係数に $\frac{1}{a}$ が残る点に要注意です。

計算：
$ x = a\tan\theta $ とおくと、$ dx = \frac{a}{\cos^2\theta}d\theta $
$ \int \frac{1}{a^2+x^2} \,dx = \int \frac{1}{a^2(1+\tan^2\theta)} \cdot \frac{a}{\cos^2\theta} \,d\theta $
$ = \int \frac{1}{a} \,d\theta = \frac{1}{a}\theta + C = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $

7. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \,dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ （逆三角関連）

ポイント：$x = a\sin\theta$ と置換します。$\arctan$ の時とは異なり、分母のルートから出る $a$ と分子の $a$ が完全に相殺されるため、先頭に $\frac{1}{a}$ はつきません。

計算：
$ x = a\sin\theta $ とおくと、$ dx = a\cos\theta d\theta $
$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}} a\cos\theta \,d\theta $
$ = \int \frac{a\cos\theta}{a\cos\theta} \,d\theta = \int 1 \,d\theta = \theta + C = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $

8. $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （指数・対数）

ポイント：指数関数の微分 $(a^x)' = a^x \ln a$ の逆算です。微分で掛けられる $\ln a$ を、積分では割ることで補正します。

計算：
$ (a^x)' = a^x \ln a $ の両辺を $ \ln a $ で割って積分すると、
$ \int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $

9. $\int e^{ax} \,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$ （指数・対数）

ポイント：合成関数の微分の逆演算です。中身の $ax$ を微分した際に出てくる係数 $a$ を打ち消すため、$\frac{1}{a}$ を掛けます。

計算：
$ (e^{ax})' = a e^{ax} $ より、両辺を積分して係数調整すると、
$ \int e^{ax} \,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C $

10. $\int \ln x \,dx = x \ln x - x + C$ （指数・対数）

ポイント：$\int 1 \cdot \ln x \,dx$ と見なし、$\ln x$ を微分側に回して部分積分法を用います。部分積分後の第2項が綺麗に約分されるのが特徴です。

計算：
$ \int 1 \cdot \ln x \,dx = x \ln x - \int x \cdot (\ln x)' \,dx $
$ = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \,dx = x \ln x - \int 1 \,dx = x \ln x - x + C $

11. $\int x e^x \,dx = (x-1)e^x + C$ （部分積分）

ポイント：多項式と指数関数の積の形です。多項式の $x$ を微分して消去するために部分積分を行います。

計算：
$ \int x (e^x)' \,dx = x e^x - \int (x)' e^x \,dx $
$ = x e^x - \int e^x \,dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C $

12. $\int x \ln x \,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$ （部分積分）

ポイント：対数関数は積分が困難なため、部分積分を行う際は「常に $\ln$ 側を微分に回す」のが鉄則です。ここでは $x$ を積分側に設定します。

計算：
$ \int \left(\frac{x^2}{2}\right)' \ln x \,dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot (\ln x)' \,dx $
$ = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C $

13. $\int \frac{1}{\cos x} \,dx = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) + C$ （高度な置換）

ポイント：特論で解説した通り、分母分子に $\cos x$ を掛けて $\sin x = t$ と置換し、部分分数分解に持ち込む非常に重要なテクニックを使います。

計算：
$ \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \,dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} \,dx $
$ t = \sin x $ とおくと $ dt = \cos x dx $
$ \int \frac{1}{1-t^2} \,dt = \frac{1}{2}\int \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right) \,dt $
$ = \frac{1}{2} \left( \log|1+t| - \log|1-t| \right) + C = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) + C $

14. $\int \sqrt{x^2 - a^2} \,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log\vert x+\sqrt{x^2-a^2}\vert + C$ （無理関数）

ポイント：部分積分のあとに同形出現させて方程式として解く、ハイレベルな積分です。結果の形を覚えておくと検算に役立ちます。

計算：
$ I = \int 1 \cdot \sqrt{x^2 - a^2} \,dx = x\sqrt{x^2 - a^2} - \int x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}} \,dx $
$ = x\sqrt{x^2 - a^2} - \int \frac{(x^2 - a^2) + a^2}{\sqrt{x^2 - a^2}} \,dx $
$ = x\sqrt{x^2 - a^2} - \int \sqrt{x^2 - a^2} \,dx - a^2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \,dx $
$ I = x\sqrt{x^2 - a^2} - I - a^2 \log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| $
$ 2I = x\sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| $ より、
$ I = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C $

15. $\int \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ （無理関数）

ポイント：$x = a\sin\theta$ と置換して半角の公式で処理します。この関数が表す半円の面積を、幾何学的に求めた結果と一致します。

計算：
$ x = a\sin\theta $ とおくと、$ dx = a\cos\theta d\theta $
$ \int \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} \cdot a\cos\theta \,d\theta = a^2 \int \cos^2\theta \,d\theta $
$ = a^2 \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} \,d\theta = a^2 \left( \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right) + C $
$ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \left(\frac{x}{a}\right) \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} $ なので、代入して戻すと、
$ = \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + C $

16. $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} \,dx = e^x f(x) + C$ （部分積分）

ポイント：積の微分法 $\{e^x f(x)\}' = e^x f(x) + e^x f'(x)$ の完全な逆演算です。入試問題ではこの構造が式の中に隠されていることが多く、見抜けると計算時間が劇的に短縮されます。

計算：
$ \int e^x f(x) \,dx + \int e^x f'(x) \,dx $
$ = \int (e^x)' f(x) \,dx + \int e^x f'(x) \,dx $
$ = \left( e^x f(x) - \int e^x f'(x) \,dx \right) + \int e^x f'(x) \,dx = e^x f(x) + C $

17. $\int \tan x \,dx = -\log|\cos x| + C$ （三角積分）

ポイント：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ と変形し、分子が分母の微分のマイナス倍（$\frac{-f'(x)}{f(x)}$ の形）になっていることを利用して対数積分に持ち込みます。

計算：
$ \int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx $
$ = \int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} \,dx = -\log|\cos x| + C $

1. 積分公式（定積分の結果および不定積分の予測）：神経衰弱で慣れてしまおう