はじめに
レベル1は、教科書レベルの基礎を確実に固めるためのセクションです。積分の基本となる「微分の逆算」という考え方を理解し、基本的な積分公式を迷わず適用できる力を養います。
ここでの基礎固めが、レベル2以降の入試レベルの問題を解く際の大きな武器になります。まずは計算のルールを正しく覚え、正確に完答することを目指しましょう。頑張りましょう！
問題一覧
まずは自力で公式がパッと浮かぶか確認してみましょう。
- No. 1： $$ \int x^n \,dx $$
- No. 2： $$ \int \frac{1}{x} \,dx $$
- No. 3： $$ \int e^x \,dx $$
- No. 4： $$ \int a^x \,dx \quad (a > 0, a \neq 1) $$
- No. 5： $$ \int \sin x \,dx $$
- No. 6： $$ \int \cos x \,dx $$
- No. 7： $$ \int (ax+b)^n \,dx \quad (n \neq -1) $$
ちょっと注意の問題特集：レベル1の落とし穴
教科書レベルとはいえ、テストや入試の緊張下では思わぬケアレスミスが発生します。レベル1で絶対に意識すべき2つのポイントを押さえておきましょう。
1. $n=-1$ のトラップと絶対値
多項式の積分公式 $\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ は万能に見えますが、$n=-1$ のとき（つまり $\frac{1}{x}$）だけは使えません（分母が $0$ になってしまうためです）。
分母が1次式単体になっているものを見たら、すぐに $\log$ の積分に頭を切り替えてください。また、真数条件を満たすために絶対値記号 $| |$ をつけ忘れないことが鉄則です。
2. 微分と積分の「符号」の逆転
三角関数の積分では、微分のときと符号の変化が逆になります。
- $(\cos x)' = -\sin x$ だから、$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$ （マイナスがつく）
- $(\sin x)' = \cos x$ だから、$\int \cos x \,dx = \sin x + C$ （マイナスはつかない）
迷ったときは「得られた答えを微分したら元の式に戻るか？」を頭の中でサッと確認する癖をつけましょう。
補足：有名な「King Property」について
積分の強力な裏ワザや定石として「King Property（$x \to a-x$ の置換）」という言葉を聞いたことがあるかもしれません。極めて重要なテーマですが、この段階で突然出てくると混乱してしまいますよね。
安心してください。King Propertyは、次のレベル2（L2_12, L2_16）で基本的な対称性の変形として土台を学び、レベル4（L4_04）で難関大の合否を分ける技術として本格的に登場します。レベル1では、まず目の前の基本公式と以下のピットフォール（危険な落とし穴）を確実に回避することに専念しましょう！
解答と解説
No. 1
問題：
$$ \int x^n \,dx $$
解答：
$$ \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C $$
【解説・詳細な式展開】
すべての積分の基本となる公式です。結果を微分して確認してみましょう。
$$ \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} \right)' = \frac{n+1}{n+1} x^{(n+1)-1} = x^n $$
このように、微分して $x^n$ になる関数を逆算しています。
- キーポイント： 基本公式：xのn乗の積分
- 着眼点： xの基本累乗
- 公式/方針： $$ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
- 【危険】（ピットフォール）： $n=-1$ の除外（分母が0になるため使用不可）
No. 2
問題：
$$ \int \frac{1}{x} \,dx $$
解答：
$$ \log |x| + C $$
【解説・詳細な式展開】
No.1の公式で除外された $n=-1$ のパターンです。$(\log x)' = \frac{1}{x}$ の逆演算ですが、積分変数の $x$ は負の値をとる可能性もあるため、真数条件を守る必要があります。
- キーポイント： 基本公式：1/xの積分
- 着眼点： 分母が1次式単体
- 公式/方針： $$ \int \frac{1}{x} \,dx = \log|x| + C $$
- 【危険】（ピットフォール）： 絶対値のつけ忘れ（真数条件のため絶対値をつけるのが鉄則）
No. 3
問題：
$$ \int e^x \,dx $$
解答：
$$ e^x + C $$
【解説・詳細な式展開】
自然対数の底 $e$ の指数関数は、$(e^x)' = e^x$ であり、微分しても形がまったく変わりません。したがって、積分してもそのまま $e^x$ となります。
- キーポイント： 基本公式：e^xの積分
- 着眼点： 自然対数の底eの指数関数
- 公式/方針： そのまま $$ e^x + C $$
- 【危険】（ピットフォール）： 積分定数 $C$ の書き忘れ（微分しても積分しても形が変わらない）
No. 4
問題：
$$ \int a^x \,dx \quad (a > 0, a \neq 1) $$
解答：
$$ \frac{a^x}{\log a} + C $$
【解説・詳細な式展開】
底が $e$ 以外の一般的な指数関数の積分です。そのまま $a^x$ を微分すると余分な定数 $\log a$ が掛け算として出てくるため、あらかじめ $\log a$ で割って調整します。
$$ \left( \frac{a^x}{\log a} \right)' = \frac{a^x \log a}{\log a} = a^x $$
- キーポイント： 基本公式：a^xの積分
- 着眼点： 底がe以外の指数関数
- 公式/方針： $\log a$ で割る
- 【危険】（ピットフォール）： $\log a$ の掛け算ミス（微分のときは掛け、積分のときは割って調整する）
No. 5
問題：
$$ \int \sin x \,dx $$
解答：
$$ -\cos x + C $$
【解説・詳細な式展開】
微分の基本公式 $(\cos x)' = -\sin x$ の完全な逆演算です。両辺にマイナスを掛けて $(-\cos x)' = \sin x$ となることを確認しましょう。
- キーポイント： 基本公式：sin xの積分
- 着眼点： sinの単体積分
- 公式/方針： $$ -\cos x + C $$
- 【危険】（ピットフォール）： 符号ミス（積分ではマイナスがつくことに注意）
No. 6
問題：
$$ \int \cos x \,dx $$
解答：
$$ \sin x + C $$
【解説・詳細な式展開】
$(\sin x)' = \cos x$ の完全な逆演算です。こちらはマイナスがつきません。
- キーポイント： 基本公式：cos xの積分
- 着眼点： cosの単体積分
- 公式/方針： $$ \sin x + C $$
- 【危険】（ピットフォール）： 符号ミス（こちらにはマイナスはつかない）
No. 7
問題：
$$ \int (ax+b)^n \,dx \quad (n \neq -1) $$
解答：
$$ \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C $$
【解説・詳細な式展開】
中身が1次式 $ax+b$ になっているときの置換積分の基本形です。置換積分の手順を確認しましょう。
$ax+b = t$ と置きます。両辺を $x$ で微分すると、
$$ \frac{dt}{dx} = a \implies dx = \frac{1}{a} \,dt $$
これを元の積分に代入すると、積分変数を変換する際に $\frac{1}{a}$ が前に出ます。
$$ \int (ax+b)^n \,dx = \int t^n \cdot \frac{1}{a} \,dt = \frac{1}{a} \int t^n \,dt $$
あとは No.1 の公式を適用して、$t$ を元の式に戻します。
$$ = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n+1} t^{n+1} + C = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C $$
- キーポイント： 置換積分：1次式の累乗型
- 着眼点： 中身が1次式の累乗
- 公式/方針： $x$ の係数 $a$ で割る
- 【危険】（ピットフォール）： 係数 $a$ の割り忘れ（合成関数の微分の逆演算として $\frac{1}{a}$ が前に出る）
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