2点と3点でのイェンセンの不等式のシミュレーター: イェンセンの不等式の直感的理解のために

数式だけを見るとイメージしにくい「イェンセンの不等式」。この記事では、その直感的な意味を視覚化して、スッキリと理解するための企画をお届けします！

イェンセンの不等式の一般形は、関数 $f(x)$ が凸関数（下に凸・谷の形）であるとき、次のように表されます。

$$ f\left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f(x_i) $$

（ただし、$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 \quad (\alpha_i \ge 0)$）

シグマや文字がたくさんあって難しそうに見えますよね。でも安心してください。初学者の学習や実際の大学入試で頻出するのは、この変数の数が「2点」または「3点」で、かつ係数 $\alpha_i$ が均等（$\frac{1}{2}$ や $\frac{1}{3}$）なケースがほとんどです。

これをグラフ上の図形として捉えると、実はとてもシンプルになります。

• 2点のとき
  グラフ上の2点を結んだ線分の「中点」と、その真下（または真上）にある「グラフ上の点」の高さ比べ。
• 3点のとき
  グラフ上の3点を結んでできる「三角形の重心」と、その真下（または真上）にある「グラフ上の点」の高さ比べ。

このように、直線の「橋」や三角形の「面」が、「関数のカーブ」に対してどのような位置関係にあるかをイメージできるようになれば、複雑な不等式も直感的にスッと腹に落ちるはずです。

以下に、点を自由に動かしてグラフと図形の関係を確かめられる「2点シミュレーター」と「3点（重心）シミュレーター」を用意しました。数式が視覚的にどう振る舞うのか、ぜひ実際に動かして遊んでみてください！

2点でのイェンセンの不等式のシミュレーション

3点でのイェンセンの不等式（重心シミュレーション）