2. 定積分の有名結果と高速処理用面積公式：神経衰弱で慣れてしまおう-eTOM -everything on Mac -

はじめに

本サイトの目玉は、下のカードめくりなので、適当に楽しんでいってください。

定積分の問題では、複雑な不定積分を正確に求めたうえで、上端と下端の数値を代入して地道に計算を進めるのが王道です。しかし、積分区間の「対称性」を利用したり、「1/6公式」をはじめとする高速処理用の面積公式を事前に知っていたりすると、面倒な代入計算は単なる「図形的な処理」や「性質の適用」に変わり、 一瞬で正確な答えを出すことができます。計算時間を劇的に短縮し、ケアレスミスを防ぐための手法や仕組みについては、神経衰弱の下に解説をまとめました。

全14題中、とくに計算スピードで圧倒的な差がつく「面積公式」や、難関大で必須となる「積分区間の対称性・周期性の利用」に関する問題を中心に入れています。

定積分と面積公式カードめくりゲーム

間違えるても、計算の仕方と答えの説明がでるので、そのうち慣れます。

片側のカードを全部めくってから、ゲーム開始を勧めます。

定積分・面積公式一覧と解説

全14題の内訳は以下の通りです。
【面積公式】3題 / 【対称性・周期性】3題 / 【図形的直観】2題 / 【有名結果・キング・ウォリス】3題 / 【広義積分・難関大定番】3題

$ \displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 $ （面積（1/6））
- 放物線と直線で囲まれた面積などを高速計算するための必須公式です。面積にする際は絶対値をとります。
$ \displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)^2 \,dx = \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4 $ （面積（1/12））
- 3次関数とその接線が囲む面積を高速計算するための必須公式です。
$ \displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 \,dx = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3 $ （面積（1/3））
- 放物線と接線、y軸に平行な直線で囲まれた面積などを出す「1/3公式」です。積分計算の基本形でもあります。
$ \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0 \quad (f(-x)=-f(x)) $ （対称性（奇関数））
- 積分区間が原点対称 $ [-a, a] $ で、関数が奇関数（原点対称：$ \sin x, x^3 $ など）であれば、計算せずとも結果は $ 0 $ になります。
$ \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \,dx \quad (f(-x)=f(x)) $ （対称性（偶関数））
- 積分区間が $ [-a, a] $ で偶関数（y軸対称：$ \cos x, x^2 $ など）の場合、半分 $ [0, a] $ だけ計算して2倍するのが鉄則です。
$ \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(nx) \,dx = 0 $ （周期性）
- サインカーブの1周期分の面積は、上下で相殺されて0になるという周期性の基本です。
$ \displaystyle \int_0^\pi \sin x \,dx = 2 $ （図形的直観）
- サインカーブの「ひと山」の面積はぴったり $ 2 $ になります。面積計算で非常によく使う基準値です。
$ \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \,dx = \frac{\pi}{4} $ （図形的直観）
- 半径1の円の面積の1/4（第一象限）そのものです。まともに置換積分せず、グラフの面積から瞬殺します。
$ \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \,dx = \frac{\pi}{4} $ （有名結果）
- $ x = \tan\theta $ の置換積分の代表格です。$ \arctan(1) - \arctan(0) $ の結果として現れる美しく有名な値です。
$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \,dx = \frac{2}{3} $ （ウォリス積分）
- 「ウォリス積分」の3乗バージョンです。$ \frac{2}{3} \times 1 $ で求まります。$ \cos^3 x $ でも同じ結果になります。
$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \,dx = \frac{\pi}{4} $ （キング）
- 積分区間の両端を足して $ x $ を引く「キングプロパティ」の代表例です。$ x=\frac{\pi}{2}-t $ と置換すると分子が $ \cos x $ になり、足すと積分値が $ \pi/2 $ になります。
$ \displaystyle \int_0^\infty e^{-x} \,dx = 1 $ （ガンマ関数）
- 積分して $ \lim_{t\to\infty}[-e^{-x}]_0^t $ を計算します。ガンマ関数の基礎であり、確率統計や物理で頻出の広義積分です。
$ \displaystyle \int_0^1 \ln x \,dx = -1 $ （対数積分）
- $ x\ln x-x $ を用い、極限 $ \lim_{x\to+0}x\ln x=0 $ を適用する広義積分です。
$ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \,dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2 $ （難関大定番）
- $ x=\frac{\pi}{2}-t $ の置換と $ \sin 2x $ の倍角公式で方程式に持ち込む、難関大で合否を分ける超定番の有名積分（オイラーの対数正弦積分）です。

解説

1. $\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ （面積（1/6））

ポイント：放物線 $y=ax^2+\dots$ と直線で囲まれた面積 $S$ を求める際、$S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ として利用します。代入計算を回避できる最強の時短公式です。

計算：
$ (x-\beta) = (x-\alpha) + (\alpha-\beta) $ と変形して展開すると、
$ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)\{(x-\alpha) - (\beta-\alpha)\} \,dx = \int_\alpha^\beta \{ (x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha) \} \,dx $
$ = \left[ \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 - \frac{\beta-\alpha}{2}(x-\alpha)^2 \right]_\alpha^\beta = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3 - \frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3 = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 $

2. $\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)^2 \,dx = \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4$ （面積（1/12））

ポイント：3次関数と接線で囲まれた面積などで使用します。1/6公式と同様の変形で導出可能です。

計算：
$ (x-\beta)^2 = \{(x-\alpha) - (\beta-\alpha)\}^2 $ として展開し、各項を積分します。
$ \int_\alpha^\beta \{ (x-\alpha)^3 - 2(\beta-\alpha)(x-\alpha)^2 + (\beta-\alpha)^2(x-\alpha) \} \,dx $
$ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right)(\beta-\alpha)^4 = \frac{3-8+6}{12}(\beta-\alpha)^4 = \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4 $

3. $\int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 \,dx = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3$ （面積（1/3））

ポイント：$x^2$ を単に積分して代入するよりも、$(x-\alpha)$ の塊として積分する方が計算が圧倒的に楽になります。

計算：
$ \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2 \,dx = \left[ \frac{1}{3}(x-\alpha)^3 \right]_\alpha^\beta = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3 - 0 = \frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3 $

4. $\int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0$ （対称性（奇関数））

ポイント：奇関数（原点対称）は、プラス側とマイナス側の面積が相殺されるため、計算不要で $0$ になります。

計算：
$ f(-x) = -f(x) $ より、$ \int_{-a}^0 f(x) \,dx $ で $ x = -t $ と置換すると $ -\int_a^0 f(-t) \,dt = \int_0^a -f(t) \,dt $
よって、$ \int_{-a}^a f(x) \,dx = -\int_0^a f(t) \,dt + \int_0^a f(x) \,dx = 0 $

5. $\int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$ （対称性（偶関数））

ポイント：偶関数（y軸対称）は、左右の面積が等しいため、片側だけ計算して2倍します。下端を $0$ にできるのが代入ミス防止に効きます。

計算：
奇関数と同様の置換を行うと $ \int_{-a}^0 f(x) \,dx = \int_0^a f(t) \,dt $ となるため、
$ \int_{-a}^a f(x) \,dx = \int_0^a f(x) \,dx + \int_0^a f(x) \,dx = 2\int_0^a f(x) \,dx $

6. $\int_0^{2\pi} \sin(nx) \,dx = 0$ （周期性）

ポイント：$\sin$ は $2\pi$ でちょうど1周期（あるいは $n$ 周期）回ります。波の上側と下側が同面積で打ち消し合うため $0$ です。

計算：
$ \left[ -\frac{1}{n}\cos(nx) \right]_0^{2\pi} = -\frac{1}{n}(\cos 2n\pi - \cos 0) = -\frac{1}{n}(1 - 1) = 0 $

7. $\int_0^\pi \sin x \,dx = 2$ （図形的直観）

ポイント：サインカーブの「ひと山」の面積は「2」。これは定積分における基本単位のようなものです。

計算：
$ \int_0^\pi \sin x \,dx = [-\cos x]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $

8. $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \,dx = \frac{\pi}{4}$ （図形的直観）

ポイント：$y = \sqrt{1-x^2}$ は単位円の上半分です。積分範囲 $0$ から $1$ は、その第1象限部分なので、円の面積 $\pi \times 1^2$ の $1/4$ です。

計算：
幾何学的に、半径 $1$、中心角 $90^\circ$ の扇形の面積そのものなので、$ \frac{1}{4} \times \pi(1)^2 = \frac{\pi}{4} $
（置換積分 $ x=\sin\theta $ でも導出可能ですが、図形判断が最速です）

9. $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \,dx = \frac{\pi}{4}$ （有名結果）

ポイント：$x = \tan\theta$ 置換の典型です。結果が $\arctan x$ になることを知っていれば代入するだけです。

計算：
$ x = \tan\theta $ と置換すると、$ \int_0^{\pi/4} 1 \,d\theta = [\theta]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} $

10. $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \,dx = \frac{2}{3}$ （ウォリス積分）

ポイント：ウォリスの公式より、奇数乗の場合は $ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \dots $ と掛けます。$ 3 $ 乗なら $ \frac{2}{3} $ です。

計算：
$ \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \,dx = \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x)\sin x \,dx $
$ \cos x = t $ とおくと $ \int_0^1 (1-t^2) \,dt = [t - \frac{1}{3}t^3]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

11. $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \,dx = \frac{\pi}{4}$ （キング）

ポイント：積分値を $I$ とし、$x = \frac{\pi}{2}-t$ と置換しても値が変わらない性質（King Property）を利用します。

計算：
置換すると $ I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \,dt $ となる。
元の式と足すと $ 2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \,dx = \int_0^{\pi/2} 1 \,dx = \frac{\pi}{2} $
よって $ I = \frac{\pi}{4} $

12. $\int_0^\infty e^{-x} \,dx = 1$ （ガンマ関数）

ポイント：指数関数の減衰速度は非常に速いため、無限遠まで積分しても有限の値に収束します。ガンマ関数 $\Gamma(1)$ の値です。

計算：
$ \lim_{k\to\infty} \int_0^k e^{-x} \,dx = \lim_{k\to\infty} [-e^{-x}]_0^k = \lim_{k\to\infty} (-e^{-k} + 1) = 0 + 1 = 1 $

13. $\int_0^1 \ln x \,dx = -1$ （対数積分）

ポイント：原点付近でマイナス無限大に発散しますが、積分値としては収束します。

計算：
$ \int \ln x \,dx = x\ln x - x $ を利用。
$ [x\ln x - x]_0^1 = (1 \cdot 0 - 1) - \lim_{x\to+0}(x\ln x - x) = -1 - 0 = -1 $

14. $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \,dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ （難関大定番）

ポイント：オイラーの対数正弦積分。キングプロパティと倍角公式、および周期性をフル活用して解く芸術的な積分です。

計算：
$ I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \,dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) \,dx $ より、
$ 2I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x \cos x) \,dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\frac{\sin 2x}{2}) \,dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) \,dx - \frac{\pi}{2}\ln 2 $
ここで $ \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) \,dx = I $ となる（置換と周期性より導出）ため、
$ 2I = I - \frac{\pi}{2}\ln 2 $ より $ I = -\frac{\pi}{2}\ln 2 $

2. 定積分の有名結果と高速処理用面積公式：神経衰弱で慣れてしまおう