積分レベル別問題解説 【レベル3】国公立大標準レベル (15題)

No. 1

問題：

$$ \int \frac{1}{x^2-1} \,dx $$

解答：

$$ \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C $$

【分数の視線チェックと詳細な式展開】

まずは分数の鉄則チェックです。分母の微分は $(x^2-1)' = 2x$ ですが、分子には $x$ がありません。したがって $f'/f$ 型は使えません。分母が因数分解できる有理関数なので「部分分数分解」を行います。

$$ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} $$

引き算のかたちを作って通分したときの係数を考えます。$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}$ となり分子に $2$ が出てしまうため、先頭に $\frac{1}{2}$ を掛けて調整します。

$$ \int \frac{1}{x^2-1} \,dx = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) \,dx $$

これで各々が基本的な $\log$ の積分になりました。絶対値をつけて積分します。

$$ = \frac{1}{2} (\log|x-1| - \log|x+1|) + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C $$

• キーポイント： 有理関数：部分分数分解（分母因数分解型）
• 着眼点： 分母が因数分解できる有理関数
• 【危険】（ピットフォール）： 部分分数分解の係数調整 (1/2) の忘れ

No. 2

問題：

$$ \int \frac{x}{x^2+1} \,dx $$

解答：

$$ \frac{1}{2} \log (x^2+1) + C $$

【分数の視線チェックと詳細な式展開】

分数の鉄則チェックです。分母の微分は $(x^2+1)' = 2x$ です。分子を見ると、定数 $2$ は足りませんが変数 $x$ が見事に存在します！これは典型的な $f'/f$ 型（微分接触型）です。面倒な置換は不要です。

分子に無理やり $2x$ を作り、帳尻合わせの $\frac{1}{2}$ を前に出します。

$$ \int \frac{x}{x^2+1} \,dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \,dx = \frac{1}{2} \int \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} \,dx $$

公式 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \log|f(x)| + C$ をそのまま適用します。なお、$x^2+1$ は常にプラスの値をとるため、絶対値記号は普通のカッコで構いません。

$$ = \frac{1}{2} \log(x^2+1) + C $$

• キーポイント： 置換積分：分母の微分接触型（f'(x)/f(x) 型）
• 着眼点： 分子の x が分母 x^2+1 の微分の形
• 【危険】（ピットフォール）： 係数調整 (1/2) のミスや無駄なtan置換

No. 3

問題：

$$ \int \sin^2 x \,dx $$

解答：

$$ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$

【詳細な式展開】

特集で整理した通り、偶数乗単体なので「半角の公式」を使って一気に1次へ次数を下げます。

$$ \int \sin^2 x \,dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} \,dx = \int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x \right) \,dx $$

そのまま積分を実行します。$\cos 2x$ を積分すると中身の微分 $2$ で割る必要がある点に注意してください。

$$ = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$

• キーポイント： 次数下げ：三角関数の偶数乗（半角公式）
• 着眼点： sin^2 x などの偶数乗単体
• 【危険】（ピットフォール）： $\cos 2x$ を積分したときの符号や係数(1/2)の掛け忘れ

No. 4

問題：

$$ \int \sin 3x \cos x \,dx $$

解答：

$$ -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C $$

【詳細な式展開】

角度が $3x$ と $x$ で異なっているため、そのままでは積分できません。「積和の公式」を用いて足し算のかたちに分解します。

公式 $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}$ を適用します。

$$ \int \sin 3x \cos x \,dx = \int \frac{1}{2} \{ \sin(3x+x) + \sin(3x-x) \} \,dx = \frac{1}{2} \int (\sin 4x + \sin 2x) \,dx $$

それぞれ積分します。$\sin$ を積分するとマイナスがつくことと、合成関数の係数で割る処理を丁寧に行います。

$$ = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} \right) + C = -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C $$

• キーポイント： 積和変換：角度の異なる三角関数の積
• 着眼点： 角度 3x と x の積
• 【危険】（ピットフォール）： 係数 1/2 の落とし忘れと、和差の角度計算ミス

No. 5

問題：

$$ \int_0^1 x\sqrt{1-x} \,dx $$

解答：

$$ \frac{4}{15} $$

【詳細な式展開】

ルートの外に $x$ があり、展開できないため手詰まりに見えます。ルートの中身ごと $1-x = t$ と置換して、展開できるかたちに持ち込みます。

$1-x = t$ より $x = 1-t$ です。両辺を微分すると $dx = -dt$ となります。
積分区間は、$x$ が $0 \to 1$ に動くとき、$t$ は $1 \to 0$ に変化します。すべて代入しましょう。

$$ \int_0^1 x\sqrt{1-x} \,dx = \int_1^0 (1-t)\sqrt{t} \,(-dt) $$

後ろにあるマイナス $(-dt)$ を使って、積分区間を $1 \to 0$ から計算しやすい $0 \to 1$ へひっくり返して元に戻します。同時に $\sqrt{t} = t^{1/2}$ として展開します。

$$ = \int_0^1 (1-t)t^{1/2} \,dt = \int_0^1 (t^{1/2} - t^{3/2}) \,dt $$

基本公式で積分します。

$$ = \left[ \frac{2}{3}t^{3/2} - \frac{2}{5}t^{5/2} \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) - 0 = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15} $$

• キーポイント： 無理置換：ルート丸ごと置換（1次式型）
• 着眼点： ルートの外に x があり展開できない
• 【危険】（ピットフォール）： 積分区間の変更忘れと $dx = -dt$ による符号の混乱

No. 6

問題：

$$ \int x^2 e^x \,dx $$

解答：

$$ (x^2 - 2x + 2)e^x + C $$

【詳細な式展開】

特集で紹介した「次数下げの部分積分」です。$x^2$ を微分側、$e^x$ を積分側に設定して、部分積分を2回実行します。

【1回目の部分積分】 $e^x = (e^x)'$ と見ます。

$$ \int x^2 (e^x)' \,dx = x^2 e^x - \int (x^2)' e^x \,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \,dx $$

定数 $2$ を前に出します。

$$ = x^2 e^x - 2 \int x e^x \,dx $$

【2回目の部分積分】 残った $\int x e^x \,dx$ に対して再度部分積分を行います。

$$ \int x (e^x)' \,dx = x e^x - \int (x)' e^x \,dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x \,dx = x e^x - e^x $$

これを元の式に丁寧に戻して展開します。マイナスとカッコの符号に細心の注意を払ってください。

$$ \int x^2 e^x \,dx = x^2 e^x - 2 ( x e^x - e^x ) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C $$

• キーポイント： 部分積分：多項式(2次)×指数関数
• 着眼点： x^2 × e^x の形
• 【危険】（ピットフォール）： 2回目の部分積分を展開する際の符号ミス（特に $+2e^x$ の部分）

No. 7

問題：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \,dx $$

解答：

$$ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C $$

【分数の視線チェックと詳細な式展開】

分数のチェックですが、ルートの和が分母にあるため $f'/f$ 型ではありません。分母にルートの足し算・引き算がある場合は、迷わず「分母の有理化」を行います。分母と分子に $(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ を掛けます。

$$ \int \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})} \,dx = \int \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(x+1) - x} \,dx $$

分母が綺麗に $1$ になって消滅します！

$$ = \int (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) \,dx = \int \{ (x+1)^{1/2} - x^{1/2} \} \,dx $$

基本公式でそのまま積分します。

$$ = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$

• キーポイント： 無理関数：分母の有理化
• 着眼点： 分母にルートの和
• 【危険】（ピットフォール）： 有理化の計算ミスや、そのまま置換しようとするタイムロス

No. 8

問題：

$$ \int \cos^3 x \,dx $$

解答：

$$ \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C $$

【詳細な式展開】

特集で確認した通り、奇数乗なので「1個分離」の定石を使います。$\cos x$ を1個だけ引き剥がします。

$$ \int \cos^3 x \,dx = \int \cos^2 x \cdot \cos x \,dx $$

残った $\cos^2 x$ を相互関係 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ でサインに変換します。

$$ = \int (1-\sin^2 x) \cos x \,dx $$

ここで $\sin x = t$ と置換します。両辺を微分すると $\cos x \,dx = dt$ となり、後ろに分離しておいた $\cos x \,dx$ が丸ごと $dt$ に吸収されます。

$$ = \int (1-t^2) \,dt = t - \frac{1}{3}t^3 + C $$

最後に $t$ を $\sin x$ に戻して完了です。

$$ = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C $$

• キーポイント： 置換積分：三角関数の奇数乗（1個分離）
• 着眼点： cos^3 x などの奇数乗
• 【危険】（ピットフォール）： 相互関係公式の代入ミスや半角公式を使おうとする泥沼化

No. 9

問題：

$$ \int e^x \sin x \,dx $$

解答：

$$ \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C $$

【詳細な式展開】

メイン特集の主役、「同形出現（循環型）の部分積分」です。一連のプロセスを完璧に追えるようにしましょう。

まず、求める積分全体を $I$ と置きます。

$$ I = \int e^x \sin x \,dx $$

【1回目の部分積分】 $e^x = (e^x)'$ と設定します。

$$ I = \int (e^x)' \sin x \,dx = e^x \sin x - \int e^x (\sin x)' \,dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \,dx $$

【2回目の部分積分】 後ろに残った $\int e^x \cos x \,dx$ に対して再度部分積分を行います。ここでも $e^x = (e^x)'$ とします。

$$ \int (e^x)' \cos x \,dx = e^x \cos x - \int e^x (\cos x)' \,dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \,dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \,dx $$

これを1回目の式に丁寧に戻します。引き算のカッコに注意してください。

$$ I = e^x \sin x - \left( e^x \cos x + \int e^x \sin x \,dx \right) $$

展開すると、最後尾に探していた元の積分 $I$ が出現します！

$$ I = e^x \sin x - e^x \cos x - I $$

右辺の $-I$ を左辺に移項して足し合わせます。

$$ 2I = e^x (\sin x - \cos x) $$

最後に両辺を $2$ で割り、積分定数 $C$ をつければ見事に解決です。

$$ I = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C $$

• キーポイント： 部分積分：循環型（e^x sin x 型）
• 着眼点： 指数関数×三角関数の無限ループ
• 【危険】（ピットフォール）： 移項時の符号ミスと、最後の $2I$ から $I$ を出す際の「2で割る」処理の忘れ

No. 10

問題：

$$ \int \frac{\log x}{x} \,dx $$

解答：

$$ \frac{1}{2} (\log x)^2 + C $$

【分数の視線チェックと詳細な式展開】

分数の鉄則です。「分子が分母の微分か？」を見ると $(x)' = 1$ なので違います。しかし、少し見方を変えて式を掛け算に分離してみましょう。

$$ \int \log x \cdot \frac{1}{x} \,dx $$

ここで $(\log x)' = \frac{1}{x}$ であることに気づけば、これは関数とその微分が掛け算された $f(x) \cdot f'(x)$ 型だと見抜けます。無理に部分積分をする必要はありません。

$\log x = t$ と置換します。両辺を微分すると $\frac{1}{x} \,dx = dt$ となり、後ろの分数と $dx$ がそのまま $dt$ に置き換わります。

$$ \int t \,dt = \frac{1}{2}t^2 + C = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C $$

• キーポイント： 置換積分：対数関数の微分接触型
• 着眼点： log x とその微分 1/x が積の形で共存
• 【危険】（ピットフォール）： 部分積分を実行して計算ループに迷い込む罠

No. 11

問題：

$$ \int \tan x \,dx $$

解答：

$$ -\log |\cos x| + C $$

【分数の視線チェックと詳細な式展開】

$\tan x$ 単体では公式がありません。相互関係を用いて分数に書き換えます。

$$ \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx $$

ここで分数の鉄則チェックです！分母の微分は $(\cos x)' = -\sin x$ です。分子には $\sin x$ がありますから、マイナス符号を補うだけで完璧な $f'/f$ 型になります。

$$ = -\int \frac{-\sin x}{\cos x} \,dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \,dx $$

公式通りに $\log$ にして絶対値をつければ完了です。

$$ = -\log|\cos x| + C $$

• キーポイント： 置換積分：tan x の対数積分（f'/f 型）
• 着眼点： tan x 単体
• 【危険】（ピットフォール）： 微分のマイナス符号の落とし忘れ

No. 12

問題：

$$ f(x) = x + \int_0^{1/2} f(t) \,dt $$

解答：

$$ f(x) = x + \frac{1}{4} $$

【詳細な式展開】

積分方程式の超基本定石です。定積分 $\int_0^{1/2} f(t) \,dt$ は、中に未知の関数 $f(t)$ が入っていても、計算結果はただの「実数の定数」になります。そこで、このかたまりを定数 $k$ と置きます。

$$ \int_0^{1/2} f(t) \,dt = k \quad \dots ① $$

すると、元の式は非常にシンプルなかたちに書き換えられます。

$$ f(x) = x + k \quad \dots ② $$

この ② の式（変数を $t$ に変えた $f(t) = t + k$）を、自分で置いた ① の積分の中に代入して $k$ についての方程式を作ります。

$$ k = \int_0^{1/2} (t+k) \,dt $$

右辺の積分を普通に計算します。$k$ はただの定数扱いです。

$$ k = \left[ \frac{t^2}{2} + kt \right]_0^{1/2} = \left( \frac{(1/2)^2}{2} + k \cdot \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{1}{8} + \frac{1}{2}k $$

これで $k$ の1次方程式ができました。解いていきましょう。

$$ k - \frac{1}{2}k = \frac{1}{8} \implies \frac{1}{2}k = \frac{1}{8} \implies k = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$

求まった $k = \frac{1}{4}$ を ② の式に戻して最終的な答えです。

$$ f(x) = x + \frac{1}{4} $$

• キーポイント： 積分方程式：定数置き換え型
• 着眼点： 定積分は実数の定数である性質
• 【危険】（ピットフォール）： $k$ の方程式を解く際の分数計算ミス

No. 13

問題：

$$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \,dt $$

解答：

$$ f(x) $$

【詳細な式展開】

「微積分学の基本定理」そのものです。なぜ中身の $t$ が $x$ に変わって出てくるのか、定積分の定義通りに変形して確認しましょう。

$f(t)$ の不定積分のひとつを $F(t)$ とすると、$F'(t) = f(t)$ です。定積分を計算すると、

$$ \int_a^x f(t) \,dt = \left[ F(t) \right]_a^x = F(x) - F(a) $$

となります。この式全体を $x$ で微分します。$F(a)$ は定数なので微分すると $0$ になります。

$$ \frac{d}{dx} ( F(x) - F(a) ) = F'(x) - 0 = f(x) $$

• キーポイント： 基本定理：積分記号下の変数微分
• 着眼点： 定積分の上端が変数 x
• 【危険】（ピットフォール）： 上端が $x^2$ などの場合に合成関数の微分を忘れるトラップ（今回は基本形）

No. 14

問題：

$$ \int \frac{x}{(x^2+1)^2} \,dx $$

解答：

$$ -\frac{1}{2(x^2+1)} + C $$

【分数の視線チェックと詳細な式展開】

分数の鉄則チェックです。分母全体のかたまり $(x^2+1)$ の微分は $2x$ であり、分子に $x$ が存在します。No.2 とよく似ていますが、今回は分母が「2乗」されているため、普通の $\log$ にはなりません。中身のかたまり $x^2+1 = t$ と置換して処理します。

$x^2+1 = t$ と置くと、$2x \,dx = dt \implies x \,dx = \frac{1}{2} \,dt$ です。

$$ \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot x \,dx = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2} \,dt = \frac{1}{2} \int t^{-2} \,dt $$

マイナス乗の基本公式を適用します。

$$ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-2+1} t^{-2+1} + C = -\frac{1}{2} t^{-1} + C = -\frac{1}{2t} + C $$

最後に $t$ を戻して完了です。

$$ = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C $$

• キーポイント： 置換積分：分母の微分接触型（f'(x)/f(x)^2 型）
• 着眼点： 分子の x が分母の中身 x^2+1 の微分形に近い
• 【危険】（ピットフォール）： 係数調整 (1/2) の忘れと、マイナス乗の積分計算ミス

No. 15

問題：

$$ \int_{-\pi}^{\pi} x\sin x \,dx $$

解答：

$$ 2\pi $$

【詳細な式展開】

積分区間が $[-\pi, \pi]$ と対称なので、まずは「偶関数・奇関数のチェック」を必ず行います。
中身の関数を $g(x) = x\sin x$ と置いて、$-x$ を代入してみます。

$$ g(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x\sin x = g(x) $$

マイナス同士が打ち消し合い、元の式に戻りました。つまり $x\sin x$ は「偶関数（$y$軸対称）」です（奇関数 $\times$ 奇関数 ＝ 偶関数）。したがって、区間を半分にして2倍に書き換えます。

$$ \int_{-\pi}^{\pi} x\sin x \,dx = 2 \int_0^{\pi} x\sin x \,dx $$

ここから部分積分です。$x$ を微分側、$\sin x$ を積分側（$(-\cos x)'$）に設定します。

$$ = 2 \left( \left[ x(-\cos x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi (x)' (-\cos x) \,dx \right) = 2 \left( \left[ -x\cos x \right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \,dx \right) $$

代入計算と後ろの積分を実行します。下の端が $0$ になっているおかげで計算が非常に楽です。

$$ = 2 \left( ( -\pi\cos\pi - 0 ) + \left[ \sin x \right]_0^\pi \right) = 2 ( -\pi(-1) + (\sin\pi - \sin 0) ) = 2 ( \pi + 0 ) = 2\pi $$

• キーポイント： 対称性：偶関数×部分積分（x sin x 型）
• 着眼点： 対称な積分区間 [-π, π] と関数の偶奇
• 【危険】（ピットフォール）： 偶奇判定ミスで即答で0にしてしまう罠と、部分積分の符号ミス